분산 분석 (ANOVA)

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1. ANOVA (ANalysis Of VAriance)

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: 분산 분석(ANOVA;변량 분석)은 3개 이상 다수의 집단을 비교할 때 사용하는 가설검정 방법

*'집단간분산(variance between groups)/집단내분산(variance within group)' 기반의 F분포를 이용함

: 다수 집단 비교에서 t-test를 여러번 사용하면, 다중검정문제 발생으로 1종 오류가 증가하게 됨

→따라서, 다수 간의 평균 비교에서 ANOVA를 통해 유의한 차이를 검정

(A 그림) - ANOVA 분석 결과, 그룹 사이의 차이가 없음

(B 그림) - ANOVA 분석 결과, 그룹 사이의 유의한 차이가 존재

2. 분산분석 종류

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ㄱ) 일원분산분석(One-way ANOVA)

- '독립변인 1개' and '종속변인 1개'일 때, 집단 간의 유의미한 차이 검정

- ex) 한/중/일 국가간 학습기술에 따른 성적비교 (독립변인: 학습기술)

ㄴ) 이원분산분석(Two-way ANOVA)

- '독립변인 2개' and '종속변인 1개'일 때, 집단 간의 유의미한 차이 검정

- ex) 한/중/일 국가간 성별과 운동량에 따른 체중비교 (독립변인: 성별/운동량)

ㄷ) 다원변량분산분석(MANOVA;multiple analysis of variance)

- '독립변인 1개' and '종속변인 2개'일  때, 집단 간의 유의미한 차이 검정 (One-way MANOVA)

- '독립변인 2개' and '종속변인 2개'일  때, 집단 간의 유의미한 차이 검정 (Two-way MANOVA)

ㄹ) 공분산분석(ANCOVA;analysis of covariance)

- 특정한 독립변인을 중점에 두고, 나머지 독립변인은 공변량(Covariates)으로 분석하는 방법

3. 일원분산분석(One-way ANOVA) 예제 

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: anorexia 거식증 환자데이터를 기반하여 일원분산분석 수행

→거식증 환자의 몸무게 변화 평균이, 세가지 치료방법(Control/CBT/FT)에 상관없이 동일한지를 검정

# aov 함수 사용
library(MASS)
attach(anorexia)
Change_dep <- Postwt - Prewt
aov_result <- aov(Change_dep ~ Treat)      #Change_dep: 종속변수,   Treat: 설명변수
summary(aov_result)     
            Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)   
Treat        2    615  307.32   5.422 0.0065 **
Residuals   69   3911   56.68                  
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Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

#p-value가 0.0065로 유의하므로 귀무가설을 기각하고,
#치료방법에 따른 평균이 동일하지 않다고 결론 내림

# boxplot 비교
boxplot(Change_dep ~ Treat, col=rainbow(3))

4. 사후 검정 (Post-Hoc analysis;Follow-up test)

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: 분산 분석에서 귀무가설 기각 시 모평균이 모두 같지 않다는 것은 알 수 있으나, 어느 집단 사이의 차이인지는 알 수 없음

→귀무가설 기각 시 구체적인 차이를 파악하기 위해, 사후 검정의 형태인 다중비교(Multiple comparison)가 필요함

→다중비교방법: Tukey검정/Scheff방법/최소유의차검정(LSD)

# TukeyHSD 함수로 사후 검정 수행
TukeyHSD(aov_result)
  Tukey multiple comparisons of means
    95% family-wise confidence level

Fit: aov(formula = Change_dep ~ Treat)

$Treat
              diff       lwr       upr     p adj
Cont-CBT -3.456897 -8.327276  1.413483 0.2124428
FT-CBT    4.257809 -1.250554  9.766173 0.1607461
FT-Cont   7.714706  2.090124 13.339288 0.0045127

#사후 검정 결과 Control-CBT, FT-CBT 간에는 평균 차이가 없으나,
#FT-Control 간에는 평균이 유의하게 차이난다고 결론 내림

# TukeyHSD 사후 검정결과 시각화
plot(TukeyHSD(aov_result))

#Reference

1) https://medium.com/greyatom/inferential-statistics-101-part-9-8bf8302337a2

2) https://namu.wiki/w/%EB%B6%84%EC%82%B0%20%EB%B6%84%EC%84%9D

3) https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B6%84%EC%82%B0_%EB%B6%84%EC%84%9D

4) https://socialinnovation.tistory.com/m/142

5) https://m.blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=khinv&logNo=220741292811&proxyReferer=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F

6) https://www.researchgate.net/figure/Graphical-representation-of-the-rationale-behind-the-analysis-of-variance-ANOVA-A_fig2_329788831

7) https://www.statology.org/understanding-the-differences-between-anova-ancova-manova-and-mancova/

8) https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/MASS/html/anorexia.html

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